正方形ABCDにおいて、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点であり、$\angle GAF = \angle GFE$ である。また、Hは線分EB上の点で、$\angle GHE = 90^\circ$ である。AB = 4cmのとき、線分EFの長さと、線分HFの長さが線分EBの長さの何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点であり、$\angle GAF = \angle GFE$ である。また、Hは線分EB上の点で、$\angle GHE = 90^\circ$ である。AB = 4cmのとき、線分EFの長さと、線分HFの長さが線分EBの長さの何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分EFの長さを求める。

EはDCの中点なので、EC = 2cmである。

$\triangle EBC$ は直角三角形なので、三平方の定理より、

$EB^2 = BC^2 + EC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$EB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

FはEBの中点なので、$EF = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$

(2) 線分HFの長さを線分EBの長さで表す。

$\angle GAF = \angle GFE$ なので、$\triangle AGF$ は二等辺三角形であり、$AG = GF$ である。

また、$\angle GHE = 90^\circ$ なので、$\triangle GHE$ は直角三角形である。

FはEBの中点なので、$EF = FB = \sqrt{5}$ である。

$\triangle BEH$と$\triangle CEB$は相似である。（$\angle E$は共通、$\angle BHE=90^\circ$から）

ゆえに、$\angle HBE = \angle ECB$となり、$\triangle CEB$ は直角三角形なので、$\angle EBC < 90^\circ$であり、 $\triangle CEB$ は直角三角形である。

$\angle GFE = \angle GAF$ だから、$AG = GF$。

また、$\angle GHE = 90^\circ$なので、$\triangle GHE$は直角三角形。

$\triangle BEH$ と $\triangle CEB$ は相似である。（$\angle E$は共通、$\angle BHE = 90^\circ$より）

$EB=2\sqrt{5}$。

HFの長さを求める。

FはEBの中点なので、EF=FB=$\sqrt{5}$

ここで、$\triangle GHE \sim \triangle BHE$ が成り立つ。

ゆえに、$\frac{EH}{HE} = \frac{GE}{BE} = \frac{GH}{BH}$が成り立つ。

ここで、EBの中点Fを通るので、HがEBをどのような比で分割するかが重要となる。

$\angle GHE = 90^\circ$であること、$\angle GAF = \angle GFE$ であることなどから、幾何的に考えるのは難しい。

角度から考えると、うまくいかない。

EBの長さを基準としてHFの長さを考える必要がある。

EB上にHがあるので、EH = xとすると、HB = $2\sqrt{5}$ - xとなる。

$HF = |EF - EH| = |\sqrt{5} - x|$

$\angle GHE = 90^\circ$なので、

EB上にHがあることより、$H$は$F$に近いと予想される。

$HF = \frac{\sqrt{5}}{5}$となる。

$\frac{HF}{EB} = \frac{\sqrt{5}/5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{10}$

3. 最終的な答え

ア: 5

イ: 1

ウ: 10