3つの三角形に関する問題です。 * \[5] 三角形ABCにおいて、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、$CA$と外接円の半径$R$を求めます。 * \[6] 三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$のとき、$A$を求めます。 * \[7] 三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$のとき、三角形ABCの面積$S$を求めます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

3つの三角形に関する問題です。

* \[5] 三角形ABCにおいて、$AB=4$, $A=75^\circ$, $B=60^\circ$のとき、$CA$と外接円の半径$R$を求めます。

* \[6] 三角形ABCにおいて、$AB=3$, $BC=\sqrt{7}$, $CA=2$のとき、$A$を求めます。

* \[7] 三角形ABCにおいて、$AB=8$, $BC=3\sqrt{3}$, $B=135^\circ$のとき、三角形ABCの面積$S$を求めます。

2. 解き方の手順

* \[5]

* $C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

* 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{CA}{\sin 60^\circ}$

$CA = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$

* 外接円の半径$R$について、正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = 2R$

$R = \frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

* \[6]

* 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos A$

$7 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$12 \cos A = 6$

$\cos A = \frac{1}{2}$

$A = 60^\circ$

* \[7]

* 三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

* \[5] $CA = 2\sqrt{6}$, $R = 2\sqrt{2}$

* \[6] $A = 60^\circ$

* \[7] $S = 6\sqrt{6}$