問題は2つの部分に分かれています。 最初の部分は、2つのベクトルが与えられたときに、それらの内積とそれらがなす角度を求めることです。 2番目の部分は、点 P(1, -2, 3) が与えられたときに、xy平面、y軸、原点に対して対称な点の座標を選択肢から選ぶことです。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

最初の部分は、2つのベクトルが与えられたときに、それらの内積とそれらがなす角度を求めることです。

2番目の部分は、点 P(1, -2, 3) が与えられたときに、xy平面、y軸、原点に対して対称な点の座標を選択肢から選ぶことです。

2. 解き方の手順

**【1】ベクトルの内積と角度**

(1) $\vec{a} = (2, -1, -3)$, $\vec{b} = (3, 2, -1)$

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は次のように計算されます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (-1)(2) + (-3)(-1) = 6 - 2 + 3 = 7$

ベクトルの大きさはそれぞれ次のようになります。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ は、次の式で求めることができます。

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{7}{\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ （60度）

(2) $\vec{a} = (-5, -3, 4)$, $\vec{b} = (-8, 4, -7)$

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は次のように計算されます。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5)(-8) + (-3)(4) + (4)(-7) = 40 - 12 - 28 = 0$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積が0であるので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は直交します。よってなす角 $\theta$ は 90度 = $\frac{\pi}{2}$です。

**【2】対称な点の座標**

(1) xy平面に関して対称な点：z座標の符号が変わります。

(2) y軸に関して対称な点：x座標とz座標の符号が変わります。

(3) 原点に関して対称な点：すべての座標の符号が変わります。

3. 最終的な答え

【1】

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2}$

【2】

選択肢を参照すると、

(1) xy平面に関して対称な点: (1, -2, -3) (選択肢1)

(2) y軸に関して対称な点: (-1, -2, -3) （選択肢0）

(3) 原点に関して対称な点: (-1, 2, -3) （選択肢3）