四角形 ABCD が円に内接している。$\angle E = 40^\circ$, $\angle F = 32^\circ$ である。$\angle ABC$ と $\angle ADC$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

四角形 ABCD が円に内接している。$\angle E = 40^\circ$, $\angle F = 32^\circ$ である。$\angle ABC$ と $\angle ADC$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BCD$ を求める。

$\triangle FCE$ において、$\angle F + \angle E + \angle C = 180^\circ$ より、$\angle C = 180^\circ - \angle F - \angle E = 180^\circ - 32^\circ - 40^\circ = 108^\circ$

次に、四角形 ABCD は円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ かつ $\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$ である。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

また、$\triangle FAD$ について、$\angle F + \angle A + \angle D = 180^\circ$ でもある。

$\angle FAD = 32^\circ$ である。

$\angle BAD = \angle BAF + \angle FAD = 72^\circ$

$\triangle ABE$ について、$\angle A + \angle B + \angle E = 180^\circ$ である。

$\angle ADC$ は $\angle ABC$ の外角だから、$\angle ADC = \angle A + \angle B = \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} - \angle BCD$

$\angle ADC$ は $\angle ABC$ の対角なので、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$

$\angle BAD$ は円周角なので、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$

$\angle BCD = 108^\circ$ であるから、$\angle BAD = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

$\angle F = 32^\circ$ であるから、$\angle DAC = \angle BAD - \angle BAF = 72^\circ - 32^\circ = 40^\circ$

$\angle BAC = \angle BDC = 40^\circ$ (円周角の定理)

$\angle ADB = \angle ACB$ (円周角の定理)

$\angle ACB = 40^\circ$

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 100^\circ$

$\angle ADC = 80^\circ$