周の長さが $2a$ である正 $n$ 角形の面積を $S_n$ とする。ただし、$n$ は3以上の自然数、$a$ は正の定数とする。 (1) $S_n$ を $a$ と $n$ を用いて表せ。 (2) 極限値 $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

周の長さが $2a$ である正 $n$ 角形の面積を $S_n$ とする。ただし、$n$ は3以上の自然数、$a$ は正の定数とする。

(1) $S_n$ を $a$ と $n$ を用いて表せ。

(2) 極限値 $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 正 $n$ 角形は、$n$ 個の合同な二等辺三角形に分割できる。それぞれの二等辺三角形の頂角は $\frac{2\pi}{n}$ である。正 $n$ 角形の周の長さが $2a$ なので、各辺の長さは $\frac{2a}{n}$ である。二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を引くと、底辺を二等分し、頂角も二等分する。したがって、二等辺三角形の高さ $h$ は、

$$h = \frac{a}{n} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)$$

と表せる。

二等辺三角形の面積は

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{n} \cdot \frac{a}{n} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right) = \frac{a^2}{n^2} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)$$

である。正 $n$ 角形は $n$ 個のこのような二等辺三角形から構成されるので、面積 $S_n$ は

$$S_n = n \cdot \frac{a^2}{n^2} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right) = \frac{a^2}{n} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)$$

と表せる。

(2) 極限値 $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a^2}{n} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{a^2}{n} \frac{\cos(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})} = a^2 \lim_{n \to \infty} \frac{\cos(\frac{\pi}{n})}{n \sin(\frac{\pi}{n})}$$

ここで、$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となるので、

$$\lim_{n \to \infty} S_n = a^2 \lim_{x \to 0} \frac{x \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)} = a^2 \lim_{x \to 0} \cos(\pi x) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(\pi x)}$$

$$= a^2 \cdot 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(\pi x)} = a^2 \lim_{x \to 0} \frac{\pi x}{\pi \sin(\pi x)} = \frac{a^2}{\pi} \lim_{x \to 0} \frac{\pi x}{\sin(\pi x)}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であるから、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ である。

よって、

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a^2}{\pi} \cdot 1 = \frac{a^2}{\pi}$$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{a^2}{n} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)$

(2) $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a^2}{\pi}$