$\theta$ が第4象限にあり、$\cos\theta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ が第4象限にあり、$\cos\theta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して、$\sin\theta$ の絶対値を求めます。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に $\cos\theta = \frac{5}{13}$ を代入すると、

$\sin^2\theta + (\frac{5}{13})^2 = 1$

$\sin^2\theta + \frac{25}{169} = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169}$

$\sin^2\theta = \frac{169 - 25}{169}$

$\sin^2\theta = \frac{144}{169}$

したがって、$\sin\theta = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$ となります。

$\theta$ が第4象限にあるとき、$\sin\theta < 0$ であるため、$\sin\theta = -\frac{12}{13}$ となります。

次に、$\tan\theta$ の値を求めます。$\tan\theta$ は $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ で定義されるので、

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = -\frac{12}{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin\theta = -\frac{12}{13}$

$\tan\theta = -\frac{12}{5}$