- 【3】次の方程式が表す円の中心の座標と半径を求めなさい。 - (1) $x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$ - (2) $x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$ - 【4】円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めなさい。 (共有点の座標は、x座標の数値が小さいものから順に記述すること) - 【5】次の円と直線の共有点の個数を求めなさい。(数値のみ解答しなさい。) - (1) 円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $y = 2x + 1$

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

- 【3】次の方程式が表す円の中心の座標と半径を求めなさい。

- (1) $x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$

- (2) $x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0$

- 【4】円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めなさい。 (共有点の座標は、x座標の数値が小さいものから順に記述すること)

- 【5】次の円と直線の共有点の個数を求めなさい。(数値のみ解答しなさい。)

- (1) 円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $y = 2x + 1$

2. 解き方の手順

- 【3】円の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ の形に変形します。ここで、中心の座標は $(a, b)$、半径は $r$ です。

- (1) $x^2 + 6x + y^2 - 8y = 0$ を変形します。

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

中心は $(-3, 4)$、半径は $5$

- (2) $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ を変形します。

$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 3 + 1$

$(x + 1)^2 + y^2 = 4$

中心は $(-1, 0)$、半径は $2$

- 【4】円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x + 1$ の共有点の座標を求めます。

- $y = x + 1$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + (x + 1)^2 = 5$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 5$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

$x = -2, 1$

- $x = -2$ のとき、$y = -2 + 1 = -1$

- $x = 1$ のとき、$y = 1 + 1 = 2$

- よって、共有点の座標は $(-2, -1)$ と $(1, 2)$

- 【5】円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $y = 2x + 1$ の共有点の個数を求めます。

- $y = 2x + 1$ を $x^2 + y^2 = 6$ に代入します。

$x^2 + (2x + 1)^2 = 6$

$x^2 + 4x^2 + 4x + 1 = 6$

$5x^2 + 4x - 5 = 0$

- 判別式 $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(5)(-5) = 16 + 100 = 116 > 0$ なので、共有点は2個

3. 最終的な答え

- 【3】

- (1) 中心: $(-3, 4)$ 半径: $5$

- (2) 中心: $(-1, 0)$ 半径: $2$

- 【4】 $(-2, -1), (1, 2)$

- 【5】 2