三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $BC = 5\sqrt{6}$ であるとき、$AB$ と $AC$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$, $BC = 5\sqrt{6}$ であるとき、$AB$ と $AC$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180度であるから、$\angle B$ を求める。

$$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$$

次に、正弦定理を用いて、$AB$ と $AC$ を求める。正弦定理は、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

ここで、$a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ である。

$BC = 5\sqrt{6}$ なので、$\frac{5\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ}$ となる。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ である。

まず、$AB$ を求める。

$$\frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$AB = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$$

よって、$AB = 10$ である。

次に、$AC$ を求める。

$$\frac{5\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$$

$$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{2\sqrt{3}} = \frac{5(6+\sqrt{12})}{2\sqrt{3}} = \frac{5(6+2\sqrt{3})}{2\sqrt{3}} = \frac{5(3+\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{5(3+\sqrt{3})\sqrt{3}}{3} = \frac{5(3\sqrt{3}+3)}{3} = 5(\sqrt{3}+1) = 5\sqrt{3}+5$$

よって、$AC = 5 + 5\sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

$AB = 10$

$AC = 5 + 5\sqrt{3}$