$0 < x < 1$ のとき、直角三角形の図を用いて、次の等式を証明せよ。 $\cos^{-1}x = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

1. 問題の内容

$0 < x < 1$ のとき、直角三角形の図を用いて、次の等式を証明せよ。

$\cos^{-1}x = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

2. 解き方の手順

図の直角三角形OABにおいて、OA = $x$, OB = 1, AB = $\sqrt{1-x^2}$ である。

角AOB = $y$ とおく。

$\cos y = \frac{OA}{OB} = \frac{x}{1} = x$

したがって、$y = \cos^{-1}x$

また、$\sin y = \frac{AB}{OB} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2}$

したがって、$y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

ゆえに、$\cos^{-1}x = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ が成立する。

3. 最終的な答え

$\cos^{-1}x = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$