(1) 2点 A(-4, 2), B(6, 7) 間の距離を求めます。 (2) 2点 A(3, -4), B(8, 6) から等距離にある y 軸上の点 P の座標を求めます。 (3) 3点 A(3, 3), B(-4, 4), C(-1, 5) から等距離にある点 P の座標を求めます。

1. 問題の内容

(1) 2点 A(-4, 2), B(6, 7) 間の距離を求めます。

(2) 2点 A(3, -4), B(8, 6) から等距離にある y 軸上の点 P の座標を求めます。

(3) 3点 A(3, 3), B(-4, 4), C(-1, 5) から等距離にある点 P の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離の公式を利用します。

2点 A($x_1$, $y_1$) と B($x_2$, $y_2$) 間の距離は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ で表されます。

したがって、A(-4, 2) と B(6, 7) 間の距離は

$\sqrt{(6 - (-4))^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{(10)^2 + (5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ となります。

(2) y 軸上の点 P の座標を (0, y) とします。

A(3, -4) と P(0, y) 間の距離は $\sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - y)^2} = \sqrt{9 + (y + 4)^2}$ です。

B(8, 6) と P(0, y) 間の距離は $\sqrt{(8 - 0)^2 + (6 - y)^2} = \sqrt{64 + (6 - y)^2}$ です。

A と P の距離と B と P の距離が等しいので、

$\sqrt{9 + (y + 4)^2} = \sqrt{64 + (6 - y)^2}$

両辺を 2 乗して、$9 + (y + 4)^2 = 64 + (6 - y)^2$

$9 + y^2 + 8y + 16 = 64 + 36 - 12y + y^2$

$y^2 + 8y + 25 = y^2 - 12y + 100$

$20y = 75$

$y = \frac{75}{20} = \frac{15}{4}$

したがって、点 P の座標は $(0, \frac{15}{4})$ となります。

(3) 点 P の座標を (x, y) とします。

A(3, 3), B(-4, 4), C(-1, 5) から P までの距離が等しいので、

AP = BP = CP が成り立ちます。

AP$^2$ = $(x - 3)^2 + (y - 3)^2$

BP$^2$ = $(x + 4)^2 + (y - 4)^2$

CP$^2$ = $(x + 1)^2 + (y - 5)^2$

AP$^2$ = BP$^2$ より、

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = (x + 4)^2 + (y - 4)^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 8x + 16 + y^2 - 8y + 16$

$-6x - 6y + 18 = 8x - 8y + 32$

$14x - 2y = -14$

$7x - y = -7$ (1)

AP$^2$ = CP$^2$ より、

$(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = (x + 1)^2 + (y - 5)^2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25$

$-6x - 6y + 18 = 2x - 10y + 26$

$8x - 4y = -8$

$2x - y = -2$ (2)

(1) - (2) より、

$5x = -5$

$x = -1$

(2) に代入して、

$2(-1) - y = -2$

$-2 - y = -2$

$y = 0$

したがって、点 P の座標は (-1, 0) となります。

3. 最終的な答え

(1) $5\sqrt{5}$

(2) $(0, \frac{15}{4})$

(3) $(-1, 0)$