$\angle PAB = \frac{\pi}{2}$、 $AB=4$ の直角三角形PABがある。辺ABの中点をMとする。$\triangle PMB$の面積が $t$ となる時、$\angle MPB = \theta$ とする。 (1) $\cos^2 \theta$ を $t$ を用いた式で表せ。 (2) $\sin \theta$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$\angle PAB = \frac{\pi}{2}$、 $AB=4$ の直角三角形PABがある。辺ABの中点をMとする。$\triangle PMB$の面積が $t$ となる時、$\angle MPB = \theta$ とする。

(1) $\cos^2 \theta$ を $t$ を用いた式で表せ。

(2) $\sin \theta$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2$ である。

$\triangle PMB$ の面積が $t$ であるから、

$\frac{1}{2} PM \cdot MB \cdot \sin \theta = t$

$\frac{1}{2} PM \cdot 2 \cdot \sin \theta = t$

$PM \cdot \sin \theta = t$

$PM = \frac{t}{\sin \theta}$

$\triangle PMA$ と $\triangle PMB$ において、正弦定理より

$\frac{PM}{\sin \angle PAM} = \frac{AM}{\sin \angle APM}$

$\frac{PM}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\sin \angle APM}$

$PM = \frac{2}{\sin \angle APM}$

$\angle APM = \pi - \theta - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \theta$

$\sin \angle APM = \sin (\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$

よって、$PM = \frac{2}{\cos \theta}$

$PM = \frac{t}{\sin \theta} = \frac{2}{\cos \theta}$ より

$t \cos \theta = 2 \sin \theta$

$\tan \theta = \frac{t}{2}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (\frac{t}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{t^2}{4}} = \frac{4}{4+t^2}$

(2)

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{4+t^2} = \frac{4+t^2-4}{4+t^2} = \frac{t^2}{4+t^2}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{t^2}{4+t^2}} = \frac{t}{\sqrt{4+t^2}}$

$\sin \theta = \frac{t}{\sqrt{4+t^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4}{t^2}+1}}$

$\frac{4}{t^2}+1$ が最小のとき、$\sin \theta$ は最大となる。

$t > 0$ であるから、$t \to \infty$ のとき $\frac{4}{t^2} \to 0$ より、$\frac{4}{t^2}+1 \to 1$ となり、$\sin \theta \to 1$ となる。

しかし、$\sin \theta$ は1を超えることはないので、$\sin \theta < 1$ である。

$\frac{d}{dt} \sin \theta = \frac{\sqrt{4+t^2} - t \cdot \frac{1}{2} (4+t^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2t}{4+t^2} = \frac{\sqrt{4+t^2} - \frac{t^2}{\sqrt{4+t^2}}}{4+t^2} = \frac{4+t^2 - t^2}{(4+t^2)\sqrt{4+t^2}} = \frac{4}{(4+t^2)\sqrt{4+t^2}} > 0$

つまり、$\sin \theta$ は $t$ に関して単調増加である。

$t \cos \theta = 2 \sin \theta$ より $\tan \theta = \frac{t}{2}$

$\theta = \arctan (\frac{t}{2})$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

$0 < \arctan (\frac{t}{2}) < \frac{\pi}{2}$

$\angle PAB = \frac{\pi}{2}$、$\theta = \angle MPB$ より、$\theta < \frac{\pi}{2}$

よって、$\sin \theta < 1$

$t=2$ の時、$PA=PB$ となるため、$\theta = \frac{\pi}{4}$

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$t \to 0$ で $\sin \theta \to 0$

$t \to \infty$ で $\sin \theta \to 1$

$\sin \theta = \frac{t}{\sqrt{4+t^2}}$

$\sin \theta$ の最大値は存在しないが、上限は1である。

$4+t^2 = x$ とおくと、$t^2 = x-4$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x}}$

$f(x) = \frac{x-4}{x} = 1 - \frac{4}{x}$

$f'(x) = \frac{4}{x^2} > 0$

$\sin \theta$ の最大値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) $\cos^2 \theta = \frac{4}{4+t^2}$

(2) $\sin \theta$ の最大値は存在しない。上限は1である。