4点P(2, 6, 1), A(-1, 1, 3), B(1, 2, 7), C(3, 0, -1)を頂点とする四面体の体積を求めます。

1. 問題の内容

4点P(2, 6, 1), A(-1, 1, 3), B(1, 2, 7), C(3, 0, -1)を頂点とする四面体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

四面体の体積は、ベクトルを用いて計算できます。

まず、点Pを基準として、ベクトル$\vec{PA}$, $\vec{PB}$, $\vec{PC}$ を求めます。

$\vec{PA} = \vec{A} - \vec{P} = (-1-2, 1-6, 3-1) = (-3, -5, 2)$

$\vec{PB} = \vec{B} - \vec{P} = (1-2, 2-6, 7-1) = (-1, -4, 6)$

$\vec{PC} = \vec{C} - \vec{P} = (3-2, 0-6, -1-1) = (1, -6, -2)$

次に、これらのベクトルで作られる平行六面体の体積を計算します。

平行六面体の体積は、スカラー三重積 $|\vec{PA} \cdot (\vec{PB} \times \vec{PC})|$ で与えられます。

$\vec{PB} \times \vec{PC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -4 & 6 \\ 1 & -6 & -2 \end{vmatrix} = ((-4)(-2) - 6(-6))\vec{i} - ((-1)(-2) - 6(1))\vec{j} + ((-1)(-6) - (-4)(1))\vec{k} = (8+36)\vec{i} - (2-6)\vec{j} + (6+4)\vec{k} = (44, 4, 10)$

$\vec{PA} \cdot (\vec{PB} \times \vec{PC}) = (-3)(44) + (-5)(4) + (2)(10) = -132 - 20 + 20 = -132$

したがって、平行六面体の体積は $|-132| = 132$ です。

四面体の体積は、平行六面体の体積の $\frac{1}{6}$ であるため、

四面体の体積 $= \frac{1}{6} \times 132 = 22$

3. 最終的な答え

22