3点A(2,0), B(4,5), C(0,2) が与えられたとき、 (1) $\cos A$ を求めよ。 (2) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

3点A(2,0), B(4,5), C(0,2) が与えられたとき、

(1) $\cos A$ を求めよ。

(2) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$ を求める。

$\overrightarrow{AB} = (4-2, 5-0) = (2, 5)$

$\overrightarrow{AC} = (0-2, 2-0) = (-2, 2)$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2)(-2) + (5)(2) = -4 + 10 = 6$

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} = \frac{6}{\sqrt{29} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{58}}$

(2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin A$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{58}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{58} = \frac{49}{58}$

$\sin A = \sqrt{\frac{49}{58}} = \frac{7}{\sqrt{58}}$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{29} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{58}} = \frac{1}{2} \sqrt{29} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{7}{\sqrt{29 \cdot 2}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 = 7$

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = \frac{3}{\sqrt{58}} = \frac{3\sqrt{58}}{58}$

(2) $S = 7$