ベクトル $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ に対して、以下の二つの等式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $(\vec{A} - \vec{B}) \times (\vec{A} + \vec{B}) = 2(\vec{A} \times \vec{B})$ (2) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ に対して、以下の二つの等式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $(\vec{A} - \vec{B}) \times (\vec{A} + \vec{B}) = 2(\vec{A} \times \vec{B})$

(2) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開し、ベクトル積の性質を利用して右辺を導きます。ベクトル積の分配法則、$\vec{A} \times \vec{A} = \vec{0}$、$\vec{B} \times \vec{A} = - \vec{A} \times \vec{B}$ を利用します。

$(\vec{A} - \vec{B}) \times (\vec{A} + \vec{B}) = \vec{A} \times \vec{A} + \vec{A} \times \vec{B} - \vec{B} \times \vec{A} - \vec{B} \times \vec{B}$

$= \vec{0} + \vec{A} \times \vec{B} - (-\vec{A} \times \vec{B}) - \vec{0}$

$= \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{B}$

$= 2(\vec{A} \times \vec{B})$

よって、$(\vec{A} - \vec{B}) \times (\vec{A} + \vec{B}) = 2(\vec{A} \times \vec{B})$ が成り立ちます。

(2)

$\vec{A} = (A_x, A_y, A_z)$, $\vec{B} = (B_x, B_y, B_z)$, $\vec{C} = (C_x, C_y, C_z)$ とします。

まず、$\vec{B} \times \vec{C}$ を計算します。

$\vec{B} \times \vec{C} = (B_yC_z - B_zC_y, B_zC_x - B_xC_z, B_xC_y - B_yC_x)$

次に、$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})$ を計算します。

$\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (A_y(B_xC_y - B_yC_x) - A_z(B_zC_x - B_xC_z), A_z(B_yC_z - B_zC_y) - A_x(B_xC_y - B_yC_x), A_x(B_zC_x - B_xC_z) - A_y(B_yC_z - B_zC_y))$

一方、$\vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$ を計算します。

$\vec{A} \cdot \vec{C} = A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z$

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$

$\vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) = (B_x(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z), B_y(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z), B_z(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z))$

$\vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B}) = (C_x(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z), C_y(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z), C_z(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z))$

$\vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B}) = (B_x(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z) - C_x(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z), B_y(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z) - C_y(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z), B_z(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z) - C_z(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z))$

これらの成分が一致することを示します。第一成分について検討します。

$B_x(A_xC_x + A_yC_y + A_zC_z) - C_x(A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z) = A_yB_xC_y + A_zB_xC_z - A_yB_yC_x - A_zB_zC_x$

$A_y(B_xC_y - B_yC_x) + A_z(B_xC_z - B_zC_x) = A_yB_xC_y - A_yB_yC_x + A_zB_xC_z - A_zB_zC_x$

確かに一致します。同様に、他の成分も一致することを確認できます。

3. 最終的な答え

(1) $(\vec{A} - \vec{B}) \times (\vec{A} + \vec{B}) = 2(\vec{A} \times \vec{B})$

(2) $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$