xy平面上に曲線 $C: y = \frac{1}{4}x^2 + x$ と直線 $l: y = x + 4$ がある。 (1) $C$ と $l$ の交点 $P, Q$ の座標を求めよ。 (2) $C$ 上の点 $R$ が $P$ から $Q$ まで動くとき、三角形 $PQR$ の面積が最大となるような点 $R$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に曲線 $C: y = \frac{1}{4}x^2 + x$ と直線 $l: y = x + 4$ がある。

(1) $C$ と $l$ の交点 $P, Q$ の座標を求めよ。

(2) $C$ 上の点 $R$ が $P$ から $Q$ まで動くとき、三角形 $PQR$ の面積が最大となるような点 $R$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $C$ と $l$ の交点を求めるには、それぞれの式を連立させて解けばよい。

$y = \frac{1}{4}x^2 + x$ と $y = x + 4$ より、

$\frac{1}{4}x^2 + x = x + 4$

$\frac{1}{4}x^2 = 4$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

$x = 4$ のとき、$y = 4 + 4 = 8$

$x = -4$ のとき、$y = -4 + 4 = 0$

よって、$P(-4, 0)$, $Q(4, 8)$ となる。

(2) $R$ の座標を $(t, \frac{1}{4}t^2 + t)$ とする。ただし、$-4 \leq t \leq 4$ である。

三角形 $PQR$ の面積は、底辺を $PQ$ と見たとき、高さが最大になるように $R$ を選べばよい。

直線 $PQ$ の方程式は、$y = x + 4$ なので、$R$ と直線 $PQ$ の距離を $d$ とすると、

$d = \frac{|t - (\frac{1}{4}t^2 + t) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{1}{4}t^2 + 4|}{\sqrt{2}}$

$d$ を最大にするには、$|-\frac{1}{4}t^2 + 4|$ を最大にすれば良い。

$-4 \leq t \leq 4$ であるから、$-\frac{1}{4}t^2 + 4 \geq 0$ なので、$|\frac{-1}{4}t^2 + 4| = \frac{-1}{4}t^2 + 4$。

これは $t = 0$ で最大値 $4$ をとる。

よって、$R$ の座標は $(0, 0)$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $P(-4, 0)$, $Q(4, 8)$

(2) $R(0, 0)$