円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$ の交点の個数を求めよ。

## (2) 円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$ の交点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線の交点の個数を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入して得られる2次方程式の判別式を調べる。

$y = -x + 7$ を $x^2 + y^2 = 3$ に代入すると、

$x^2 + (-x + 7)^2 = 3$

$x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 3$

$2x^2 - 14x + 46 = 0$

$x^2 - 7x + 23 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-7)^2 - 4(1)(23) = 49 - 92 = -43$

$D < 0$ なので、この2次方程式は実数解を持たない。したがって、円と直線は交点を持たない。

3. 最終的な答え

交点なし

## (3) 円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + 10$

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + 10$ の交点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線の交点の個数を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入して得られる2次方程式の判別式を調べる。

$y = 3x + 10$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入すると、

$x^2 + (3x + 10)^2 = 10$

$x^2 + (9x^2 + 60x + 100) = 10$

$10x^2 + 60x + 90 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = 6^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

$D = 0$ なので、この2次方程式は重解を持つ。したがって、円と直線は1点で接する。

3. 最終的な答え

1点で接する