点 $(2, -1, 6)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (3, 1, -1)$ に垂直な平面と、直線 $\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2}$ との交点を求める。

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7. の問題

1. 問題の内容

点 $(2, -1, 6)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (3, 1, -1)$ に垂直な平面と、直線 $\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2}$ との交点を求める。

2. 解き方の手順

まず、平面の方程式を求める。平面上の任意の点を $(x, y, z)$ とすると、平面の方程式は

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\vec{n} \cdot ((x, y, z) - (2, -1, 6)) = 0

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(3, 1, -1) \cdot (x-2, y+1, z-6) = 0

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3(x-2) + (y+1) - (z-6) = 0

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3x - 6 + y + 1 - z + 6 = 0

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3x + y - z + 1 = 0

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次に、直線のパラメータ表示を求める。$\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2} = t$ とおくと、

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x = -2t, \quad y = 3t + 2, \quad z = 2t

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これらの値を平面の方程式に代入して $t$ を求める。

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3(-2t) + (3t+2) - (2t) + 1 = 0

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-6t + 3t + 2 - 2t + 1 = 0

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-5t + 3 = 0

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t = \frac{3}{5}

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求めた $t$ の値を直線のパラメータ表示に代入して、交点の座標を求める。

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x = -2 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{6}{5}

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y = 3 \cdot \frac{3}{5} + 2 = \frac{9}{5} + \frac{10}{5} = \frac{19}{5}

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z = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}

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3. 最終的な答え

交点の座標は $\left(-\frac{6}{5}, \frac{19}{5}, \frac{6}{5}\right)$

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8. の問題

1. 問題の内容

点 $C(4, 1, -3)$ を通りベクトル $\vec{v} = (2, 2, -1)$ に平行な直線と、点 $C$ を中心とする半径 $6$ の球との交点を求める。

2. 解き方の手順

直線の方程式をパラメータ表示で表す。

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(x, y, z) = (4, 1, -3) + t(2, 2, -1) = (4+2t, 1+2t, -3-t)

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球の方程式は $(x-4)^2 + (y-1)^2 + (z+3)^2 = 6^2 = 36$ である。

直線上の点が球面上にある条件は、

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(4+2t-4)^2 + (1+2t-1)^2 + (-3-t+3)^2 = 36

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(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2 = 36

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4t^2 + 4t^2 + t^2 = 36

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9t^2 = 36

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t^2 = 4

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t = \pm 2

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$t = 2$ のとき、$(x, y, z) = (4+2(2), 1+2(2), -3-2) = (8, 5, -5)$

$t = -2$ のとき、$(x, y, z) = (4+2(-2), 1+2(-2), -3-(-2)) = (0, -3, -1)$

3. 最終的な答え

交点の座標は $(8, 5, -5)$ と $(0, -3, -1)$