円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = kx$ の共有点の個数を考える問題です。最初に、$x^2 + y^2 = 1$ に $y = kx$ を代入して整理し、二次方程式の判別式 $D$ を求めます。その後、判別式 $D$ の値によって共有点の個数がどのように変わるかを答えます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = kx$ の共有点の個数を考える問題です。最初に、$x^2 + y^2 = 1$ に $y = kx$ を代入して整理し、二次方程式の判別式 $D$ を求めます。その後、判別式 $D$ の値によって共有点の個数がどのように変わるかを答えます。

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式に直線の式を代入します。

$x^2 + y^2 = 1$ に $y = kx$ を代入すると、

$x^2 + (kx)^2 = 1$

$x^2 + k^2x^2 = 1$

$(1 + k^2)x^2 = 1$

$(k^2 + 1)x^2 - 1 = 0$

この二次方程式の判別式 $D$ を求めます。二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ です。この問題では、$a = k^2 + 1$, $b = 0$, $c = -1$ ですから、

$D = 0^2 - 4(k^2 + 1)(-1)$

$D = 4(k^2 + 1)$

$D = 4k^2 + 4$

$D = 4k^2 + 4$ が $0$ より大きいか、小さいか、等しいかで共有点の個数が変わります。

$D = 4k^2 + 4 > 0$ は常に成り立ちます。

(2)

判別式 $D$ が正の数であれば、2つの共有点を持ちます。

3. 最終的な答え

(1)

$(k^2 + 1) x^2 - 1 = 0$

$D = 4k^2 + 4$

(2)

2個