平面内の直線 $l: y = 3x$ に関して、点 $A(a, b)$ と対称な点を $B(X, Y)$ とする。 (1) $X$ を $a, b$ で表せ。 (2) 点 $A$ が直線 $y = x + 8$ の上を動くとき、点 $B$ は直線 $y = mx + n$ の上を動く。このとき、$m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

平面内の直線 $l: y = 3x$ に関して、点 $A(a, b)$ と対称な点を $B(X, Y)$ とする。

(1) $X$ を $a, b$ で表せ。

(2) 点 $A$ が直線 $y = x + 8$ の上を動くとき、点 $B$ は直線 $y = mx + n$ の上を動く。このとき、$m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(a, b)$ と点 $B(X, Y)$ が直線 $y = 3x$ に関して対称である条件を考える。

* $AB$ の中点 $((a+X)/2, (b+Y)/2)$ が直線 $y = 3x$ 上にある。

* 直線 $AB$ と直線 $y = 3x$ が垂直である。

上記2つの条件から、$X$ を $a, b$ で表す。

中点の条件より、

$\frac{b+Y}{2} = 3 \cdot \frac{a+X}{2}$

$b+Y = 3a+3X$

$Y = 3a+3X-b$ ...(1)

垂直条件より、$AB$ の傾きは $-1/3$ であるから、

$\frac{Y-b}{X-a} = -\frac{1}{3}$

$3(Y-b) = -(X-a)$

$3Y - 3b = -X + a$

$3Y = -X + a + 3b$ ...(2)

(1) を (2) に代入すると、

$3(3a+3X-b) = -X + a + 3b$

$9a+9X-3b = -X + a + 3b$

$10X = -8a + 6b$

$X = -\frac{4}{5}a + \frac{3}{5}b$

(2) 点 $A(a, b)$ が直線 $y = x + 8$ 上を動くので、$b = a + 8$ が成り立つ。

点 $B(X, Y)$ が直線 $y = mx + n$ 上を動くので、$Y = mX + n$ が成り立つ。

$X = -\frac{4}{5}a + \frac{3}{5}b$ に $b = a + 8$ を代入すると、

$X = -\frac{4}{5}a + \frac{3}{5}(a + 8) = -\frac{4}{5}a + \frac{3}{5}a + \frac{24}{5} = -\frac{1}{5}a + \frac{24}{5}$

$a = -5X + 24$

(1)より、$Y = 3a+3X-b$ に $b = a + 8$ を代入すると、

$Y = 3a + 3X - (a+8) = 2a + 3X - 8$

$a = -5X + 24$ を代入すると、

$Y = 2(-5X + 24) + 3X - 8 = -10X + 48 + 3X - 8 = -7X + 40$

したがって、点 $B(X, Y)$ は直線 $Y = -7X + 40$ 上を動く。

よって、$m = -7, n = 40$ である。

3. 最終的な答え

(1) $X = -\frac{4}{5}a + \frac{3}{5}b$

(2) $m = -7$