問題2: $\sin \theta = \frac{4}{5}$ のとき、次の各場合について、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ (2) $90^\circ < \theta < 180^\circ$ 問題3: $\cos \theta = \frac{3}{4}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題2: $\sin \theta = \frac{4}{5}$ のとき、次の各場合について、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$

(2) $90^\circ < \theta < 180^\circ$

問題3: $\cos \theta = \frac{3}{4}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$) のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題2

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ は全て正の値をとる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

よって、$\cos \theta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$

(2) $90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$ は正、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ は負の値をとる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

よって、$\cos \theta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$

問題3

$0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin \theta$ は正の値をとる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

よって、$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{7}/4}{3/4} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

3. 最終的な答え

問題2

(1) $\cos \theta = \frac{3}{5}, \tan \theta = \frac{4}{3}$

(2) $\cos \theta = -\frac{3}{5}, \tan \theta = -\frac{4}{3}$

問題3

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}, \tan \theta = \frac{\sqrt{7}}{3}$