円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。点Pは円の外にあり、直線PBと円との交点がB、直線PCが円と接する点をCとする。$\angle P = 46^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求める問題。ただし、$\angle x = \angle OAB$とする。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, Cがあり、円の中心をOとする。点Pは円の外にあり、直線PBと円との交点がB、直線PCが円と接する点をCとする。$\angle P = 46^\circ$のとき、$\angle x$の大きさを求める問題。ただし、$\angle x = \angle OAB$とする。

2. 解き方の手順

* 三角形PBCにおいて、$\angle PBC = 46^\circ$である。

* 接弦定理より、$\angle BCP = \angle BAC = x$である。

* 三角形PBCの内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BCP + \angle PBC + \angle CPB = 180^\circ$が成り立つ。

* よって、$\angle BCP = 180^\circ - \angle PBC - \angle CPB$である。

* 三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = x$である。

* $\angle AOB = 180^\circ - 2x$である。

* $\angle BOC = 2 \angle BAC = 2x$である。(円周角の定理)

* 点Pから円に引いた接線と弦によって作られる角（$\angle BCP$）は、その角の内にある弧に対する円周角（$\angle BAC$）と等しいので、$\angle BCP=x$が成立する。

* $\angle BPC = 46^\circ$である。

* 三角形PBCにおいて、$46^\circ + x + \angle PCB = 180^\circ$。$x=46^\circ + \angle PCB = 180^\circ$を解く。

* 直線PCは円の接線なので、$\angle OCP = 90^\circ$である。

* 四角形PBOCに着目すると、$\angle OBC + \angle OCP + \angle CPB + \angle BPC = 360^\circ$となる。

* $\angle OBP = \angle OBC + \angle CBP$

* $\angle PBC= 46^\circ$なので、$\angle BCP= x= \angle BAC$。

* $\angle BOC=2x$。

* $\angle OBC=90^\circ - x$。

* $x+23=44$なので、$x= 22$

* $\angle BAC = (180^\circ - 46^\circ)/2 = 134^\circ/2 =67^\circ$

最終的な答え

1. 最終的な答え

$\angle x = 22^\circ$