空間内の4点A(2,-1,1), B(5,-2,4), C(-3,3,-1), D(3,0,3)について、ベクトル$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$が作る平行六面体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

空間内の4点A(2,-1,1), B(5,-2,4), C(-3,3,-1), D(3,0,3)について、ベクトル$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$が作る平行六面体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

平行六面体の体積は、3つのベクトル$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$で張られる行列式の絶対値で求められます。

まず、ベクトル$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$を計算します。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (5-2, -2-(-1), 4-1) = (3, -1, 3)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (-3-2, 3-(-1), -1-1) = (-5, 4, -2)$

$\overrightarrow{AD} = D - A = (3-2, 0-(-1), 3-1) = (1, 1, 2)$

次に、これらのベクトルを成分とする行列式を計算します。

$\begin{vmatrix}

3 & -1 & 3 \\

-5 & 4 & -2 \\

1 & 1 & 2

\end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} -5 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$

$= 3(4 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + (-5 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + 3(-5 \cdot 1 - 4 \cdot 1)$

$= 3(8 + 2) + (-10 + 2) + 3(-5 - 4)$

$= 3(10) - 8 + 3(-9)$

$= 30 - 8 - 27$

$= -5$

最後に、行列式の絶対値を計算します。

体積 = $|-5| = 5$

3. 最終的な答え

5