$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta$ の値が与えられたときに、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。具体的には、 (1) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ の場合と、 (2) $\tan \theta = -\frac{1}{3}$ の場合を考えます。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta$ の値が与えられたときに、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める問題です。具体的には、

(1) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ の場合と、

(2) $\tan \theta = -\frac{1}{3}$ の場合を考えます。

2. 解き方の手順

(1) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ の場合

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であることと、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であることを利用します。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、

$(\frac{1}{3})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ において、$\tan \theta = \frac{1}{3} > 0$ なので、$0^\circ < \theta < 90^\circ$ であり、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(2) $\tan \theta = -\frac{1}{3}$ の場合

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ より、

$(-\frac{1}{3})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{1}{9} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

$\cos^2 \theta = \frac{9}{10}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ において、$\tan \theta = -\frac{1}{3} < 0$ なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ であり、$\cos \theta < 0$ であるから、

$\cos \theta = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = -\frac{1}{3} \cdot (-\frac{3\sqrt{10}}{10}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $\tan \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(2) $\tan \theta = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\sin \theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$