(1) 点Pが放物線 $y = x^2 + 1$ 上を動くとき、定点 A(2, -1) と点 P を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。 (2) 円 $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ 上を動く点 P と、2点 A(3, 1), B(1, -4) を3つの頂点とする $\triangle$ABP の重心 G の軌跡は、中心が点 (a, b), 半径 r の円となる。このとき, a, b, r の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点Pが放物線 $y = x^2 + 1$ 上を動くとき、定点 A(2, -1) と点 P を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

(2) 円 $x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$ 上を動く点 P と、2点 A(3, 1), B(1, -4) を3つの頂点とする $\triangle$ABP の重心 G の軌跡は、中心が点 (a, b), 半径 r の円となる。このとき, a, b, r の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標を $(s, t)$ とすると、$t = s^2 + 1$ が成り立つ。

線分 AP の中点を (x, y) とすると、

$x = \frac{s+2}{2}$

$y = \frac{t-1}{2}$

となる。

これらを s, t について解くと、

$s = 2x - 2$

$t = 2y + 1$

となる。

$t = s^2 + 1$ に代入して、

$2y + 1 = (2x - 2)^2 + 1$

$2y + 1 = 4x^2 - 8x + 4 + 1$

$2y = 4x^2 - 8x + 4$

$y = 2x^2 - 4x + 2$

$y = 2(x^2 - 2x + 1)$

$y = 2(x - 1)^2$

(2)

円の方程式を変形すると、

$x^2 + 2x + y^2 - 3 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + y^2 - 3 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 4$

したがって、円の中心は (-1, 0), 半径は 2。

点Pの座標を (s, t) とすると、

$(s + 1)^2 + t^2 = 4$ が成り立つ。

$\triangle$ABP の重心 G の座標を (x, y) とすると、

$x = \frac{s + 3 + 1}{3} = \frac{s + 4}{3}$

$y = \frac{t + 1 - 4}{3} = \frac{t - 3}{3}$

となる。

これらを s, t について解くと、

$s = 3x - 4$

$t = 3y + 3$

となる。

$(s + 1)^2 + t^2 = 4$ に代入して、

$(3x - 4 + 1)^2 + (3y + 3)^2 = 4$

$(3x - 3)^2 + (3y + 3)^2 = 4$

$9(x - 1)^2 + 9(y + 1)^2 = 4$

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{4}{9}$

したがって、円の中心は (1, -1), 半径は $\frac{2}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x - 1)^2$

(2) $a = 1, b = -1, r = \frac{2}{3}$