与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、それらのなす角 $\theta$ を求める問題です。2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の組が2つ与えられています。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ と、それらのなす角 $\theta$ を求める問題です。2つのベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ の組が2つ与えられています。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} = (2, -1, -3), \vec{b} = (3, 2, -1)$ の場合

- 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(3) + (-1)(2) + (-3)(-1) = 6 - 2 + 3 = 7$

- $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

- $\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を用いて $\cos{\theta}$ を計算します。

$\cos{\theta} = \frac{7}{\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

- $\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。

$\theta = \frac{\pi}{3}$ (ラジアン) または $60^{\circ}$

(2) $\vec{a} = (-5, -3, 4), \vec{b} = (-8, 4, -7)$ の場合

- 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5)(-8) + (-3)(4) + (4)(-7) = 40 - 12 - 28 = 0$

- $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + 4^2 + (-7)^2} = \sqrt{64 + 16 + 49} = \sqrt{129}$

- $\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を用いて $\cos{\theta}$ を計算します。

$\cos{\theta} = \frac{0}{5\sqrt{2}\sqrt{129}} = 0$

- $\cos{\theta} = 0$ となる $\theta$ を求めます。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ (ラジアン) または $90^{\circ}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7$

$\theta = 60^{\circ}$

(2)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\theta = 90^{\circ}$