(1) 点 $(1, 6, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求める。 (2) 点 $(-4, 3, 1)$ を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 点 $(1, 6, -1)$ を通り、ベクトル $\vec{n} = (2, -1, 4)$ に垂直な平面の方程式を求める。

(2) 点 $(-4, 3, 1)$ を通り、平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平面上の任意の点を $(x, y, z)$ とする。与えられた点 $(1, 6, -1)$ を $\vec{p}$、任意の点 $(x, y, z)$ を $\vec{r}$ とすると、$\vec{r} - \vec{p}$ は平面上のベクトルである。

ベクトル $\vec{n}$ が平面に垂直なので、$\vec{n}$ と $\vec{r} - \vec{p}$ は直交する。したがって、

$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{p}) = 0$

$(2, -1, 4) \cdot (x - 1, y - 6, z - (-1)) = 0$

$2(x - 1) - (y - 6) + 4(z + 1) = 0$

$2x - 2 - y + 6 + 4z + 4 = 0$

$2x - y + 4z + 8 = 0$

(2) 平面 $x + 5y - 2z = 1$ に平行な平面の方程式は、$x + 5y - 2z = d$ と表せる。

この平面は点 $(-4, 3, 1)$ を通るので、

$-4 + 5(3) - 2(1) = d$

$-4 + 15 - 2 = d$

$d = 9$

したがって、平面の方程式は $x + 5y - 2z = 9$

3. 最終的な答え

(1) $2x - y + 4z + 8 = 0$

(2) $x + 5y - 2z = 9$