正六角形ABCDEFがあり、線分BDを2:3に内分する点をGとするとき、ベクトル$\overrightarrow{GC}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す問題を解きます。すなわち、$\overrightarrow{GC} = \frac{22}{23}\overrightarrow{AB} + \frac{24}{25}\overrightarrow{AF}$ の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFがあり、線分BDを2:3に内分する点をGとするとき、ベクトル$\overrightarrow{GC}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AF}$を用いて表す問題を解きます。すなわち、$\overrightarrow{GC} = \frac{22}{23}\overrightarrow{AB} + \frac{24}{25}\overrightarrow{AF}$ の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点Gが線分BDを2:3に内分することから、

$\overrightarrow{AG} = \frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}}{5}$

と表せます。ここで、正六角形なので、$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AB}$ です。

これを代入すると、

$\overrightarrow{AG} = \frac{3\overrightarrow{AB} + 2(2\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AB})}{5} = \frac{5\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AF}}{5} = \overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF}$

次に、$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG}$ を求めます。

正六角形なので、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}$ です。

したがって、

$\overrightarrow{GC} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) - (\overrightarrow{AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow{AF}) = \frac{1}{5}\overrightarrow{AF}$

元の問題の形に合わせるため、係数を比較します。

$\overrightarrow{GC} = \frac{\boxed{0}}{23}\overrightarrow{AB} + \frac{\boxed{5}}{25}\overrightarrow{AF}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{GC} = \frac{0}{23}\overrightarrow{AB} + \frac{5}{25}\overrightarrow{AF}$