正六角形ABCDEFがあり、線分BDを2:3に内分する点をGとする。このとき、ベクトル$\vec{GC}$を$\vec{AB}$と$\vec{AF}$を用いて表すと、 $\vec{GC} = \frac{22}{23}\vec{AB} + \frac{24}{25}\vec{AF}$ となるか？この問題では、$\vec{GC} = x\vec{AB} + y\vec{AF}$の$x,y$の値を求める。

1. 問題の内容

正六角形ABCDEFがあり、線分BDを2:3に内分する点をGとする。このとき、ベクトル$\vec{GC}$を$\vec{AB}$と$\vec{AF}$を用いて表すと、

$\vec{GC} = \frac{22}{23}\vec{AB} + \frac{24}{25}\vec{AF}$

となるか？この問題では、$\vec{GC} = x\vec{AB} + y\vec{AF}$の$x,y$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{GC}$を$\vec{BC}$と$\vec{BG}$を使って表す。

$\vec{GC} = \vec{BC} - \vec{BG}$

次に、$\vec{BG}$を$\vec{BD}$を使って表す。

$\vec{BG} = \frac{2}{5}\vec{BD}$

$\vec{BD}$を$\vec{AB}$と$\vec{AD}$を使って表す。

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

$\vec{AD}$を$\vec{AF}$を使って表す。正六角形なので、$\vec{AD} = 2\vec{AF}$

$\vec{BC}$を$\vec{AF}$を使って表す。正六角形なので、$\vec{BC} = \vec{AF}$

以上を踏まえて、$\vec{GC}$を計算する。

$\vec{GC} = \vec{BC} - \vec{BG} = \vec{AF} - \frac{2}{5}\vec{BD} = \vec{AF} - \frac{2}{5}(\vec{AD} - \vec{AB}) = \vec{AF} - \frac{2}{5}(2\vec{AF} - \vec{AB}) = \vec{AF} - \frac{4}{5}\vec{AF} + \frac{2}{5}\vec{AB} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{1}{5}\vec{AF}$

3. 最終的な答え

$\vec{GC} = \frac{2}{5}\vec{AB} + \frac{1}{5}\vec{AF}$

したがって、与えられた式

$\vec{GC} = \frac{22}{23}\vec{AB} + \frac{24}{25}\vec{AF}$

は正しくない。