一辺が14cmの正方形ABCDがある。点Pは毎秒1cmの速さでAからBへ、点Qは毎秒1cmの速さでBからCへ動く。P, Qが同時に出発するとき、以下の問いに答える。 (1) $x$秒後のPBの長さを、$x$を使って表す。 (2) 三角形PBQの面積が20cm$^2$になるのは何秒後か。

1. 問題の内容

一辺が14cmの正方形ABCDがある。点Pは毎秒1cmの速さでAからBへ、点Qは毎秒1cmの速さでBからCへ動く。P, Qが同時に出発するとき、以下の問いに答える。

(1) $x$秒後のPBの長さを、$x$を使って表す。

(2) 三角形PBQの面積が20cm$^2$になるのは何秒後か。

2. 解き方の手順

(1)

$x$秒後のPBの長さを求める。

点PはAからBまで動くので、ABの長さからAPの長さを引けばPBの長さが求められる。

ABの長さは14cm。

APの長さは1秒で1cm進むので、$x$秒後には$x$ cm進む。

したがって、PBの長さは、

$PB = AB - AP = 14 - x$ (cm)

(2)

三角形PBQの面積が20cm$^2$になる時間を求める。

三角形PBQは直角三角形であるから、その面積は、$PB \times BQ \div 2$で求められる。

$x$秒後のPBの長さは$(14 - x)$cm。

$x$秒後のBQの長さは$x$cm。

したがって、三角形PBQの面積は、

$\frac{1}{2} \times (14 - x) \times x$

これが20cm$^2$になるので、

$\frac{1}{2} (14 - x)x = 20$

$(14 - x)x = 40$

$14x - x^2 = 40$

$x^2 - 14x + 40 = 0$

$(x - 4)(x - 10) = 0$

$x = 4, 10$

点QはBからCまで動くので、$x$は14以下である。

$x=4$と$x=10$はどちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1)

$14-x$ cm

(2)

4秒後と10秒後