円に内接する四角形$ACBD$が与えられています。$\angle ACB = 82^\circ$、$\angle ADB = 48^\circ$のとき、$\angle AEB = x$を求めよ。ただし、点$E$は線分$AB$と線分$CD$の交点です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形$ACBD$が与えられています。$\angle ACB = 82^\circ$、$\angle ADB = 48^\circ$のとき、$\angle AEB = x$を求めよ。ただし、点$E$は線分$AB$と線分$CD$の交点です。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理を利用して、$\angle CAB$と$\angle DBA$を求めます。

$\angle CAB$は弧$CB$に対する円周角なので、$\angle CAB = \angle CDB$です。したがって、$\angle CAB = 48^\circ$です。

同様に、$\angle DBA$は弧$DA$に対する円周角なので、$\angle DBA = \angle DCA$です。したがって、$\angle DBA = 82^\circ$です。

次に、三角形$AEB$において、$\angle EAB = \angle CAB = 48^\circ$、$\angle EBA = \angle DBA = 82^\circ$です。

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle AEB = x = 180^\circ - \angle EAB - \angle EBA$です。

$x = 180^\circ - 48^\circ - 82^\circ$

$x = 180^\circ - 130^\circ$

$x = 50^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle AEB = 50^\circ$