図に示された各図形において、$x$ と $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

図に示された各図形において、$x$ と $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ADE$と$\triangle ABC$において、$DE // BC$であることから、これらは相似である。したがって、対応する辺の比が等しい。

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

与えられた値から、

$\frac{4}{4+8} = \frac{6}{6+y} = \frac{x}{9}$

$\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$であるから、

$\frac{6}{6+y} = \frac{1}{3}$

$18 = 6+y$

$y = 12$

$\frac{x}{9} = \frac{1}{3}$

$x = 3$

(2)

$\triangle ADE$と$\triangle ABC$において、$DE // BC$であることから、これらは相似である。

$\triangle AGF$と$\triangle ACE$において、$GF // BC$であることから、これらは相似である。

$\frac{AD}{AB} = \frac{y}{20} = \frac{AE}{AC}$

$\frac{AG}{AE} = \frac{15}{6} = \frac{AF}{AC}$

$\frac{AD}{AB} = \frac{AG}{AE}$なので、$\frac{AD}{AG}=\frac{AB}{AE}$

$\frac{x}{y} = \frac{15}{20}$

$\frac{AD}{AG} = \frac{AE}{AB}$

$\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$

$DE // BC$なので、

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

$GF // BC$なので、

$\frac{AG}{AC} = \frac{AF}{AB} = \frac{GF}{BC}$

$AG = x$, $AE = 6$, $BC = 20$, $GF = ?$

$\triangle AGF$と$\triangle ABC$を比較すると、$\frac{AF}{AC}=\frac{AG}{AE}=\frac{GF}{EC}$

$\frac{AD}{AB}=\frac{x}{20}=\frac{y}{6}$

$\frac{AG}{AE}=\frac{x}{6}=\frac{15}{20}$

$\frac{x}{6}=\frac{3}{4}$なので、$x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

$\frac{\frac{9}{2}}{20} = \frac{y}{6}$

$\frac{9}{40} = \frac{y}{6}$

$y = \frac{54}{40} = \frac{27}{20}$

(3)

$\triangle ADE$と$\triangle ABC$において、$DE // BC$であることから、これらは相似である。

$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$

$\frac{15}{15+20} = \frac{16}{16+x} = \frac{18}{24}$

$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

$\frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

$\frac{16}{16+x} = \frac{3}{4}$

$64 = 48 + 3x$

$16 = 3x$

$x = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3$, $y = 12$

(2) $x = \frac{9}{2}$, $y = \frac{27}{20}$

(3) $x = \frac{16}{3}$