問題は、円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と円 $C_2:(x-p)^2 + (y-q)^2 = 4$ が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。特に、$C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式を求めることが目標です。

1. 問題の内容

問題は、円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ と円 $C_2:(x-p)^2 + (y-q)^2 = 4$ が与えられたとき、以下の問いに答えるものです。特に、$C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式を求めることが目標です。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$上の点 $P(p, q)$ を取り、$P$ における $C_1$ の接線を $l$ とします。$l$ の方程式を求めます。

$C_1$ の方程式は $x^2 + y^2 = 4$ です。$P$ における接線 $l$ は、$px + qy = 4$ となります。

(2) $p=0$ かつ $q=0$ の場合を考えます。原点$(0,0)$と$P$を結ぶ直線を$m$とすると、$l$と$m$は垂直です。

$p=0$ かつ $q=0$ はありえません。なぜなら、$p^2+q^2=4$ を満たすからです。

$l$の傾きは $-p/q$ であるので、$m$の傾きは $q/p$ となります。$l$の傾きは $-(x座標)/(y座標)$となるはずなので、エは傾き=-p/qで、オは$q/p$が正しいです。

よって、$l$の方程式は $px+qy=4$ となります。（この時点で$C_1$上の接線の方程式とわかっています。）

したがって、力には $px+qy=4$が入ります。

$p=0$または$q=0$の場合も、$px+qy=4$の表す直線は、$P$における$C_1$の接線となることがわかります。

円$C_2$に接する場合について考えます。

問題文に記載があるように、円の中心間の距離と円の半径の関係を考慮する必要がありそうです。

問題文より、（i）, （ii）での考察から、次のことがわかります。

$l$と$C_2$に接するときの$P$の座標は、(p, q)= $(4/\sqrt{p^2+q^2}, 4/\sqrt{p^2+q^2})$のいずれかです。

ただし、$p^2+q^2=4$ を満たします。

したがって、$C_2$の中心（ｐ，ｑ）と直線 $px+qy=4$ との距離が２となります。

3. 最終的な答え

エ: $-p/q$

オ: $q/p$

カ: $px+qy=4$