$xy$ 平面上に円 $C: x^2 + (y+2)^2 = 4$ があります。中心 $(a, 0)$, 半径 1 の円を $D$ とします。円 $C$ と円 $D$ が異なる 2 点で交わるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ のとりうる値の範囲を求めます。 (2) $C$ と $D$ の 2 つの交点を通る直線の方程式を求めます。

## 解答

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に円 $C: x^2 + (y+2)^2 = 4$ があります。中心 $(a, 0)$, 半径 1 の円を $D$ とします。円 $C$ と円 $D$ が異なる 2 点で交わるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ のとりうる値の範囲を求めます。

(2) $C$ と $D$ の 2 つの交点を通る直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C$ の中心は $(0, -2)$ で半径は 2 です。円 $D$ の中心は $(a, 0)$ で半径は 1 です。

円 $C$ と円 $D$ が異なる 2 点で交わる条件は、2つの円の中心間の距離が、2つの円の半径の和よりも小さく、2つの円の半径の差の絶対値よりも大きいことです。つまり、

$|2 - 1| < \sqrt{(a - 0)^2 + (0 - (-2))^2} < 2 + 1$

$1 < \sqrt{a^2 + 4} < 3$

各辺を2乗すると、

$1 < a^2 + 4 < 9$

$-3 < a^2 < 5$

$a^2 > 1-4 = -3$ は常に成立します。

$a^2 < 9-4 = 5$ より、$a$ の取りうる範囲は $-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$ となります。

(2) 円 $C$ の方程式は $x^2 + (y+2)^2 = 4$ であり、円 $D$ の方程式は $(x-a)^2 + y^2 = 1$ です。2 つの円の交点を通る直線の方程式は、2 つの円の方程式の差をとることによって求められます。

$x^2 + (y+2)^2 - 4 - ((x-a)^2 + y^2 - 1) = 0$

$x^2 + y^2 + 4y + 4 - 4 - (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 1) = 0$

$x^2 + y^2 + 4y - x^2 + 2ax - a^2 - y^2 + 1 = 0$

$2ax + 4y - a^2 + 1 = 0$

したがって、2 つの円の交点を通る直線の方程式は $2ax + 4y - a^2 + 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$

(2) $2ax + 4y - a^2 + 1 = 0$