円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ 上の点 $P(p, q)$ における $C_1$ の接線を $l$ とし、 $p^2 + q^2 = 4$ が成り立つとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) $l$ の方程式を求めよ。 (2) $p=0$ かつ $q=0$ の場合を考える。原点 $(0, 0)$ と $P$ を結ぶ直線を $m$ とすると、$l$ と $m$ は垂直である。$m$ の傾きは？であり、$l$ の傾きは？となる。よって、$l$ の方程式は？となる。 $p=0$ または $q=0$ の場合も、？の表す直線は、$P$ における $C_1$ の接線となることがわかる。

1. 問題の内容

円 $C_1: x^2 + y^2 = 4$ 上の点 $P(p, q)$ における $C_1$ の接線を $l$ とし、 $p^2 + q^2 = 4$ が成り立つとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) $l$ の方程式を求めよ。

(2) $p=0$ かつ $q=0$ の場合を考える。原点 $(0, 0)$ と $P$ を結ぶ直線を $m$ とすると、$l$ と $m$ は垂直である。$m$ の傾きは？であり、$l$ の傾きは？となる。よって、$l$ の方程式は？となる。

$p=0$ または $q=0$ の場合も、？の表す直線は、$P$ における $C_1$ の接線となることがわかる。

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_0, y_0)$ における接線の方程式は $x_0x + y_0y = r^2$ である。したがって、$C_1$ の接線 $l$ の方程式は $px + qy = 4$ となる。

(2) $p=0$ かつ $q=0$ という条件はありえないので、問題文がおかしい。

$p \ne 0$ かつ $q \ne 0$ の場合を考える。原点 $(0, 0)$ と点 $P(p, q)$ を結ぶ直線 $m$ の傾きは $q/p$ である。$l$ と $m$ は垂直なので、$l$ の傾きは $-p/q$ となる。したがって、$l$ の方程式は $px + qy = 4$ となる。

$p = 0$ のとき、$P(0, \pm 2)$ となるので、$l$ の方程式は $y = \pm 2$ となる。

$q = 0$ のとき、$P(\pm 2, 0)$ となるので、$l$ の方程式は $x = \pm 2$ となる。

3. 最終的な答え

エ： $q/p$

オ： $-p/q$

カ： $px + qy = 4$

カ： $px + qy = 4$