問題は、直線 $l$ が円 $C_2$ に接するときの点 $P$ の座標 $(p, q)$ を求めることです。また、$\frac{\text{ク}}{\text{ケ}} < \frac{\text{ス}}{\text{セ}}$ という条件と、空欄「カ」に代入すると $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式が得られるという文が与えられています。

1. 問題の内容

問題は、直線 $l$ が円 $C_2$ に接するときの点 $P$ の座標 $(p, q)$ を求めることです。また、$\frac{\text{ク}}{\text{ケ}} < \frac{\text{ス}}{\text{セ}}$ という条件と、空欄「カ」に代入すると $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式が得られるという文が与えられています。

2. 解き方の手順

画像から読み取れる情報に基づき、空欄を埋めることを考えます。

(iii) の冒頭で「(i), (ii) での考察から」とあるので、この問題の前に (i) と (ii) があり、そこで円 $C_1$ と $C_2$、および点 $P$ について考察がなされていることがわかります。しかし、画像には (i) と (ii) の情報がないため、ここでは一般的な知識と、与えられた条件から推測することになります。

$(p, q) = \left(\frac{\text{ク}}{\text{ケ}}, \frac{\sqrt{\text{コサ}}}{\text{シ}}\right), \left(\frac{\text{ス}}{\text{セ}}, \frac{\sqrt{\text{ソ}}}{\text{タ}}\right)$ という形から、おそらく $p$ と $q$ の関係式が得られていると考えられます。具体的な数値は不明ですが、この形から推測します。

$\frac{\text{ク}}{\text{ケ}} < \frac{\text{ス}}{\text{セ}}$ という条件があるので、分数で表される $p$ 座標の値に大小関係があることがわかります。

最後に、「カ」に代入すると $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線の方程式が得られるとあるので、「カ」は直線の方程式を求めるための何らかの条件であると考えられます。例えば、$C_1$ と $C_2$ が具体的な円の方程式で与えられており、それらに接する直線の方程式を求めるために、接点を求めたり、判別式を利用したりするかもしれません。

3. 最終的な答え

画像の情報だけでは具体的な数値を求めることはできません。

空欄を埋めるための情報が不足しています。