$a > -1$ を満たす実数 $a$ が変化するとき、2直線 $x + ay = 1$ と $ax - y = -a$ の交点の軌跡を求め、$xy$ 平面上に図示する問題です。

1. 問題の内容

$a > -1$ を満たす実数 $a$ が変化するとき、2直線 $x + ay = 1$ と $ax - y = -a$ の交点の軌跡を求め、$xy$ 平面上に図示する問題です。

2. 解き方の手順

まず、2直線の式を連立させて、$x$ と $y$ を $a$ を用いて表します。

$x + ay = 1$ ...(1)

$ax - y = -a$ ...(2)

(2)より、 $y = ax + a$ ...(3)

これを(1)に代入すると、

$x + a(ax + a) = 1$

$x + a^2x + a^2 = 1$

$(1 + a^2)x = 1 - a^2$

$a^2 + 1 \ne 0$ であるから、

$x = \frac{1 - a^2}{1 + a^2}$ ...(4)

(3)に(4)を代入すると、

$y = a(\frac{1 - a^2}{1 + a^2}) + a$

$y = \frac{a - a^3 + a + a^3}{1 + a^2}$

$y = \frac{2a}{1 + a^2}$ ...(5)

(4), (5) より、$x = \frac{1 - a^2}{1 + a^2}$、$y = \frac{2a}{1 + a^2}$です。

ここで、$x^2 + y^2$ を計算すると、

$x^2 + y^2 = (\frac{1 - a^2}{1 + a^2})^2 + (\frac{2a}{1 + a^2})^2$

$= \frac{1 - 2a^2 + a^4 + 4a^2}{(1 + a^2)^2}$

$= \frac{1 + 2a^2 + a^4}{(1 + a^2)^2}$

$= \frac{(1 + a^2)^2}{(1 + a^2)^2} = 1$

よって、$x^2 + y^2 = 1$ となります。これは、中心が原点、半径1の円を表します。

ただし、$a > -1$ であるから、この範囲における $x$ と $y$ の範囲を考えます。

$a = -1$ のとき、

$x = \frac{1 - (-1)^2}{1 + (-1)^2} = 0$

$y = \frac{2(-1)}{1 + (-1)^2} = -1$

したがって、$x^2 + y^2 = 1$ 上の点 $(0, -1)$ は含まれません。

また、$a$ が十分大きいとき、$x$ は -1に近づき、$y$ は0に近づきます。

$x$は1になることはありません。($a$ が無限大に発散する場合を考えれば、$x$は-1になることがわかります。)

$x$ が 1 となるのは $a = 0$ のときで、$y = 0$ です。

よって、軌跡は円 $x^2 + y^2 = 1$ から点 $(0, -1)$ を除いた部分です。

$a > -1$ から $y > -1$ となります。

3. 最終的な答え

円 $x^2 + y^2 = 1$ ただし、点$(0, -1)$を除く。