## 問題の内容

## 問題の内容

円 $C: x^2 + (y+2)^2 = 4$ と円 $D: (x-a)^2 + y^2 = 1$ が異なる2点で交わるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の取りうる値の範囲を求める。

(2) $C$ と $D$ の2つの交点を通る直線の方程式を求める。

(3) $a$ が (1) の範囲を動くとき、(2) の直線が通過する領域を図示する。

## 解き方の手順

(1) **$a$ の取りうる値の範囲を求める**

円 $C$ の中心は $(0, -2)$、半径は $2$ です。円 $D$ の中心は $(a, 0)$、半径は $1$ です。

2つの円 $C$ と $D$ が異なる2点で交わるためには、以下の条件が成り立ちます。

|半径の差| < |中心間の距離| < |半径の和|

中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(a-0)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{a^2 + 4}$

したがって、

$|2-1| < \sqrt{a^2 + 4} < 2+1$

$1 < \sqrt{a^2 + 4} < 3$

各辺を2乗すると、

$1 < a^2 + 4 < 9$

$1 < a^2 + 4$ より、$a^2 > -3$ となりますが、これは常に成り立ちます。

$a^2 + 4 < 9$ より、$a^2 < 5$ となるので、$-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$

(2) **CとDの2つの交点を通る直線の方程式を求める**

2つの円 $C$ と $D$ の方程式をそれぞれ展開します。

$C: x^2 + y^2 + 4y + 4 = 4$

$D: x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = 1$

$C: x^2 + y^2 + 4y = 0$

$D: x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$

2つの円の交点を通る直線の方程式は、$C - D = 0$ で求まります。

$(x^2 + y^2 + 4y) - (x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - 1) = 0$

$2ax + 4y - a^2 + 1 = 0$

よって、直線の方程式は

$2ax + 4y - a^2 + 1 = 0$

(3) **aが(1)の範囲を動くとき、(2)の直線が通過する領域を図示する**

直線の方程式を $a$ について整理します。

$-a^2 + 2xa + (4y + 1) = 0$

$a^2 - 2xa - (4y + 1) = 0$

$a$ の存在条件を考えるために、この $a$ に関する2次方程式が $-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ条件を考えます。

$f(a) = a^2 - 2xa - (4y + 1)$ とおくと、

判別式 $D = (-2x)^2 - 4(1)(-4y - 1) = 4x^2 + 16y + 4$

$D/4 = x^2 + 4y + 1 \ge 0$

$x^2 + 4y + 1 \ge 0$

$4y \ge -x^2 - 1$

$y \ge -\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}$

これは下に凸な放物線であり、この放物線より上側の領域が求める領域の一部です。

次に $f(-\sqrt{5}) \le 0$ または $f(\sqrt{5}) \le 0$ を確認します。

$f(-\sqrt{5}) = 5 + 2\sqrt{5}x - 4y - 1 = 4 + 2\sqrt{5}x - 4y \le 0$

$4y \ge 2\sqrt{5}x + 4$

$y \ge \frac{\sqrt{5}}{2}x + 1$

$f(\sqrt{5}) = 5 - 2\sqrt{5}x - 4y - 1 = 4 - 2\sqrt{5}x - 4y \le 0$

$4y \ge -2\sqrt{5}x + 4$

$y \ge -\frac{\sqrt{5}}{2}x + 1$

これら3つの条件を満たす領域を図示します。

## 最終的な答え

(1) $-\sqrt{5} < a < \sqrt{5}$

(2) $2ax + 4y - a^2 + 1 = 0$

(3) 図示は、領域 $y \ge -\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}$、 $y \ge \frac{\sqrt{5}}{2}x + 1$、 $y \ge -\frac{\sqrt{5}}{2}x + 1$ の共通部分となります。