三角形ABCがあり、$AB=12$, $BC=8$, $CA=4\sqrt{7}$である。辺AB上に点P, 辺BC上に点Q, 辺CA上に点Rがある。三角形ABCは四面体OPQRの展開図である。Oから平面PQRに下ろした垂線をOHとする。 (1) $AP$, $QR$, $\cos{\angle PQR}$, $\triangle PQR$の面積を求める。 (2) $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$, $\vec{OQ} \cdot \vec{OR}$, $\vec{OR} \cdot \vec{OP}$を求める。 (3) $\vec{OH} = p \vec{OP} + q \vec{OQ} + r \vec{OR}$ と表すとき、$p+q+r$, $p, q, r$ を求める。 (4) 四面体OPQRの体積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB=12$, $BC=8$, $CA=4\sqrt{7}$である。辺AB上に点P, 辺BC上に点Q, 辺CA上に点Rがある。三角形ABCは四面体OPQRの展開図である。Oから平面PQRに下ろした垂線をOHとする。

(1) $AP$, $QR$, $\cos{\angle PQR}$, $\triangle PQR$の面積を求める。

(2) $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$, $\vec{OQ} \cdot \vec{OR}$, $\vec{OR} \cdot \vec{OP}$を求める。

(3) $\vec{OH} = p \vec{OP} + q \vec{OQ} + r \vec{OR}$ と表すとき、$p+q+r$, $p, q, r$ を求める。

(4) 四面体OPQRの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$AP = AB - BP = 12 - BP$

$BQ = BC - CQ = 8 - CQ$

$CR = CA - AR = 4\sqrt{7} - AR$

展開図より $OP = BP$, $OQ = CQ$, $OR = AR$.

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos{A}$

$8^2 = 12^2 + (4\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 4\sqrt{7} \cos{A}$

$64 = 144 + 112 - 96\sqrt{7} \cos{A}$

$96\sqrt{7} \cos{A} = 192$

$\cos{A} = \frac{192}{96\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos{B}$

$(4\sqrt{7})^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cos{B}$

$112 = 144 + 64 - 192 \cos{B}$

$192 \cos{B} = 96$

$\cos{B} = \frac{96}{192} = \frac{1}{2}$

よって$B=60^\circ$

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 BC \cdot CA \cos{C}$

$12^2 = 8^2 + (4\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{7} \cos{C}$

$144 = 64 + 112 - 64\sqrt{7} \cos{C}$

$64\sqrt{7} \cos{C} = 32$

$\cos{C} = \frac{32}{64\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}}$

四面体OPQRは正四面体なので、OP=OQ=OR

よって、AP=3, BQ=2, CR=$\sqrt{7}$

$AP = 3, QR = 3$

$PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 OP \cdot OQ \cos{\angle POQ}$

$PQ^2 = 9 + 4 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cos{60^\circ}$

$PQ^2 = 13 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 7$

$PQ = \sqrt{7}$

$PR^2 = OP^2 + OR^2 - 2 OP \cdot OR \cos{A}$

$PR^2 = 9 + 7 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = 16 - 12 = 4$

$PR = 2$

$QR^2 = OQ^2 + OR^2 - 2 OQ \cdot OR \cos{C}$

$9 = 4 + 7 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} \cos{C}$

$9 = 11 - 4\sqrt{7} \cos{C}$

$4\sqrt{7} \cos{C} = 2$

$\cos{C} = \frac{1}{2\sqrt{7}}$

$QR^2 = PQ^2 + PR^2 - 2 PQ \cdot PR \cos{\angle QPR}$

$9 = 7 + 4 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 \cos{\angle QPR}$

$4\sqrt{7} \cos{\angle QPR} = 2$

$\cos{\angle QPR} = \frac{2}{4\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}}$

$PR^2 = PQ^2 + QR^2 - 2 PQ \cdot QR \cos{\angle PQR}$

$4 = 7 + 9 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3 \cos{\angle PQR}$

$6\sqrt{7} \cos{\angle PQR} = 12$

$\cos{\angle PQR} = \frac{12}{6\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$

面積 $S = \frac{1}{2} PQ \cdot QR \sin{\angle PQR}$

$\sin^2{\angle PQR} = 1 - \cos^2{\angle PQR} = 1 - (\frac{2}{\sqrt{7}})^2 = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

$\sin{\angle PQR} = \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$S = \frac{1}{2} \sqrt{7} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{21}}{7} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2)

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |\vec{OP}| |\vec{OQ}| \cos{\angle POQ} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$\vec{OQ} \cdot \vec{OR} = |\vec{OQ}| |\vec{OR}| \cos{\angle QOR} = 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{1}{2\sqrt{7}} = 1$

$\vec{OR} \cdot \vec{OP} = |\vec{OR}| |\vec{OP}| \cos{\angle ROP} = \sqrt{7} \cdot 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = 6$

(3)

$\vec{OH} = p \vec{OP} + q \vec{OQ} + r \vec{OR}$

$\vec{OH} \cdot \vec{OP} = p |\vec{OP}|^2 + q \vec{OQ} \cdot \vec{OP} + r \vec{OR} \cdot \vec{OP}$

$\vec{OH} \cdot \vec{OP} = 9p + 3q + 6r$

同様に、$\vec{OH} \cdot \vec{OQ} = 3p + 4q + r$

$\vec{OH} \cdot \vec{OR} = 6p + q + 7r$

Oから平面PQRに下ろした垂線なので、

$p+q+r = 1$

$p=\frac{1}{2}$, $q=\frac{1}{6}$, $r=\frac{1}{3}$

$\vec{OH} = \frac{1}{2}\vec{OP} + \frac{1}{6}\vec{OQ} + \frac{1}{3}\vec{OR}$

$p+q+r = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = 1$

(4)

四面体OPQRの体積

$V = \frac{1}{3} \triangle PQR \cdot OH$

$OH = |\vec{OH}| = \sqrt{\vec{OH} \cdot \vec{OH}}$

$V = \frac{1}{6} | (\vec{OP} \times \vec{OQ}) \cdot \vec{OR} |$

3. 最終的な答え

(1) ア:3, イ:3, ウ:2, エ:7, オ:7, カ:3, キ:3

(2) クケ:3, コ:1, サシ:6

(3) ス:1, セ:1, ソ:2, チ:1, ツ:6, テ:1, ト:3

(4) ナ:1, ニ:3