円Oにおいて、CDは円の接線であり、OAは円の半径で長さは8cm、DCの長さは15cm、∠CAB=45°、∠ACB=45°である。このとき、辺BCの長さを求める。

1. 問題の内容

円Oにおいて、CDは円の接線であり、OAは円の半径で長さは8cm、DCの長さは15cm、∠CAB=45°、∠ACB=45°である。このとき、辺BCの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCは∠CAB=45°、∠ACB=45°なので、∠ABC=180°-45°-45°=90°の直角二等辺三角形であることがわかる。

また、OAは円の半径なので、OA=8cm。AB=ACとなる。

次に、円の接線DCと半径ODは直交するので、∠ODC=90°である。

したがって、三角形ODCは直角三角形である。

三平方の定理より、$OC^2 = OD^2 + DC^2$である。

ODは円の半径なので、OD=8cm。DC=15cmなので、

$OC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$OC = \sqrt{289} = 17$ cm。

したがって、OC=17cm。

次に、三角形ABCにおいて、AB=ACであり、∠ABC=90°なので、

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$AC^2 + AC^2 = (2AC)^2$

$2AC^2 = (2AC)^2$

$AC\sqrt{2} = OC - OA = 17 - 8 = 9$

よって、AC=9。

$AC^2 + BC^2 = AC^2$なので、$BC=AC$。

$BC = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$

三角形ABCは直角二等辺三角形であるから、

$AC = \frac{OC - OA}{\sqrt{2}}$

$AC = AB$

$AB = AC$より、点AからCまでの距離は$\sqrt{2}$倍されるので、

$BC = AC$

$OC = 17$

$OA = 8$

$AC = \frac{17-8}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$

$BC = AC = 9\sqrt{2}$

角ACB=45度より、AB=ACなので、三角形ABCはAB=ACの直角三角形。

AC=9より

BC=9

3. 最終的な答え

9 cm