2次関数 $y = x^2 + ax + 5$ に対して、以下の条件を満たす$a$の範囲を求めます。 (1) 関数がx軸と2点で交わる (2) 関数がx軸と1点で接する (3) 関数がx軸と交わらない

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax + 5$ に対して、以下の条件を満たす$a$の範囲を求めます。

(1) 関数がx軸と2点で交わる

(2) 関数がx軸と1点で接する

(3) 関数がx軸と交わらない

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + ax + 5$ とx軸との交点は、$y=0$ となる時の$x$の値によって決まります。つまり、2次方程式 $x^2 + ax + 5 = 0$ の解の個数が問題になります。判別式を$D$とすると、$D = b^2 - 4ac$ です。今回の問題では、$a=1$, $b=a$, $c=5$ なので、$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = a^2 - 20$ となります。

(1) 2点で交わる場合：判別式$D > 0$

$a^2 - 20 > 0$

$a^2 > 20$

$a < - \sqrt{20}$ または $a > \sqrt{20}$

$a < -2\sqrt{5}$ または $a > 2\sqrt{5}$

(2) 1点で接する場合：判別式$D = 0$

$a^2 - 20 = 0$

$a^2 = 20$

$a = \pm \sqrt{20}$

$a = \pm 2\sqrt{5}$

(3) 交わらない場合：判別式$D < 0$

$a^2 - 20 < 0$

$a^2 < 20$

$-\sqrt{20} < a < \sqrt{20}$

$-2\sqrt{5} < a < 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a < -2\sqrt{5}$ または $a > 2\sqrt{5}$

(2) $a = \pm 2\sqrt{5}$

(3) $-2\sqrt{5} < a < 2\sqrt{5}$