(1) 不等式 $5x-7 < 2x+5$ を満たす自然数 $x$ の値をすべて求めよ。 (2) 不等式 $x < \frac{3a-2}{4}$ を満たす $x$ の最大の整数値が 5 であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $5x-7 < 2x+5$ を満たす自然数 $x$ の値をすべて求めよ。

(2) 不等式 $x < \frac{3a-2}{4}$ を満たす $x$ の最大の整数値が 5 であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $5x-7 < 2x+5$ を解く。

まず、$5x-2x < 5+7$ より、$3x < 12$ となる。

両辺を3で割ると、$x < 4$ となる。

この不等式を満たす自然数 $x$ は、1, 2, 3 である。

(2) 不等式 $x < \frac{3a-2}{4}$ を満たす $x$ の最大の整数値が 5 であるという条件から、$a$ の範囲を求める。

$x$ の最大の整数値が 5 であるということは、$5 < x < 6$ の範囲に $\frac{3a-2}{4}$ が存在することを意味する。

よって、$5 < \frac{3a-2}{4} \le 6$ が成り立つ。

まず、$5 < \frac{3a-2}{4}$ より、$20 < 3a-2$ となる。

よって、$22 < 3a$ なので、$a > \frac{22}{3}$ である。

次に、$\frac{3a-2}{4} \le 6$ より、$3a-2 \le 24$ となる。

よって、$3a \le 26$ なので、$a \le \frac{26}{3}$ である。

したがって、$\frac{22}{3} < a \le \frac{26}{3}$ が $a$ の値の範囲である。

3. 最終的な答え

(1) $x=1, 2, 3$

(2) $\frac{22}{3} < a \le \frac{26}{3}$