与えられた対数関数の方程式を解き、$x$の値を求めます。 (1) $2^{2 \log_2 x - \log_2 3} = 12$ (2) $\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$

1. 問題の内容

与えられた対数関数の方程式を解き、$x$の値を求めます。

(1) $2^{2 \log_2 x - \log_2 3} = 12$

(2) $\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$

2. 解き方の手順

(1) $2^{2 \log_2 x - \log_2 3} = 12$

まず、指数部分を整理します。

$\log_2 x^2 - \log_2 3 = \log_2 \frac{x^2}{3}$

したがって、

$2^{\log_2 \frac{x^2}{3}} = 12$

対数の定義より、

$\frac{x^2}{3} = 12$

$x^2 = 36$

$x = \pm 6$

真数条件より、$x>0$なので、$x=6$

(2) $\log_6 (x-1) + \log_6 (x+4) = 2$

対数の和を積に変換します。

$\log_6 ((x-1)(x+4)) = 2$

対数の定義より、

$(x-1)(x+4) = 6^2 = 36$

$x^2 + 4x - x - 4 = 36$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

$(x+8)(x-5) = 0$

$x = -8, 5$

真数条件より、$x-1 > 0$ かつ $x+4 > 0$ でなければならないので、$x>1$を満たす必要があります。

したがって、$x=5$

3. 最終的な答え

(1) $x=6$

(2) $x=5$