行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $a$ の条件を求め、その場合に逆行列を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための $a$ の条件を求め、その場合に逆行列を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ が逆行列を持つための条件は、行列式 $\det(A)$ が 0 でないことです。

$\det(A) = (1)(3) - (a)(2) = 3 - 2a$

$A$ が逆行列を持つための条件は、$3 - 2a \neq 0$、つまり $a \neq \frac{3}{2}$ です。

次に、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 3 - 2a$ なので、

$A^{-1} = \frac{1}{3 - 2a} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{3 - 2a} & \frac{-a}{3 - 2a} \\ \frac{-2}{3 - 2a} & \frac{1}{3 - 2a} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A$ が逆行列を持つための条件は $a \neq \frac{3}{2}$ です。

このとき、$A$ の逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{3 - 2a} \begin{pmatrix} 3 & -a \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{3 - 2a} & \frac{-a}{3 - 2a} \\ \frac{-2}{3 - 2a} & \frac{1}{3 - 2a} \end{pmatrix}$ です。