与えられた4つの対数に関する計算問題を解きます。 (1) $\log_{10}\frac{26}{7} - \log_{10}\frac{3}{5} + \log_{10}\frac{21}{13}$ (2) $\log_3 54 + \log_3 12 - 3\log_3 2$ (3) $\log_2 \sqrt[3]{12} - \frac{1}{6}\log_2 \frac{9}{2}$ (4) $7^{2\log_7 3}$

1. 問題の内容

与えられた4つの対数に関する計算問題を解きます。

(1) $\log_{10}\frac{26}{7} - \log_{10}\frac{3}{5} + \log_{10}\frac{21}{13}$

(2) $\log_3 54 + \log_3 12 - 3\log_3 2$

(3) $\log_2 \sqrt[3]{12} - \frac{1}{6}\log_2 \frac{9}{2}$

(4) $7^{2\log_7 3}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の性質 $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$ および $\log a + \log b = \log (ab)$ を用いて計算します。

$\log_{10}\frac{26}{7} - \log_{10}\frac{3}{5} + \log_{10}\frac{21}{13} = \log_{10}(\frac{26}{7} \times \frac{5}{3} \times \frac{21}{13}) = \log_{10}(\frac{26}{13} \times \frac{21}{7} \times \frac{5}{3}) = \log_{10}(2 \times 3 \times \frac{5}{3}) = \log_{10}10 = 1$

(2) 対数の性質 $n \log a = \log a^n$ を用いて $3\log_3 2 = \log_3 2^3 = \log_3 8$ とします。その後、対数の性質 $\log a + \log b = \log (ab)$ および $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$ を用いて計算します。

$\log_3 54 + \log_3 12 - 3\log_3 2 = \log_3 54 + \log_3 12 - \log_3 8 = \log_3 (54 \times 12) - \log_3 8 = \log_3 \frac{54 \times 12}{8} = \log_3 \frac{54 \times 3}{2} = \log_3 (27 \times 3) = \log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$

(3) 対数の性質 $\log a^b = b \log a$ を用いて、$\log_2 \sqrt[3]{12} = \log_2 12^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_2 12$ とします。また、対数の性質 $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$ を用いて計算します。

$\log_2 \sqrt[3]{12} - \frac{1}{6}\log_2 \frac{9}{2} = \frac{1}{3}\log_2 12 - \frac{1}{6}\log_2 \frac{9}{2} = \frac{1}{6}(2\log_2 12 - \log_2 \frac{9}{2}) = \frac{1}{6}(\log_2 12^2 - \log_2 \frac{9}{2}) = \frac{1}{6}(\log_2 144 - \log_2 \frac{9}{2}) = \frac{1}{6} \log_2 \frac{144}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{6}\log_2 \frac{144 \times 2}{9} = \frac{1}{6}\log_2 \frac{16 \times 2}{1} = \frac{1}{6}\log_2 32 = \frac{1}{6}\log_2 2^5 = \frac{1}{6} \times 5 = \frac{5}{6}$

(4) 対数の性質 $a^{\log_a x} = x$ を利用します。 $7^{2\log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 7^{\log_7 9} = 9$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 4

(3) 5/6

(4) 9