以下の等式を証明します。 $(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$

## 問題1

1. 問題の内容

以下の等式を証明します。

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$

2. 解き方の手順

左辺と右辺をそれぞれ展開して、一致することを示します。

まず、左辺を展開します。

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

次に、右辺を展開します。

$(ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 4abcd + 4b^2d^2) + 2(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)$

$= a^2c^2 + 4abcd + 4b^2d^2 + 2a^2d^2 - 4abcd + 2b^2c^2$

$= a^2c^2 + 2a^2d^2 + 2b^2c^2 + 4b^2d^2$

左辺と右辺の展開結果が一致するので、等式は証明されました。

3. 最終的な答え

$(a^2 + 2b^2)(c^2 + 2d^2) = (ac + 2bd)^2 + 2(ad - bc)^2$は成り立つ。

## 問題2

1. 問題の内容

$a + b + c = 0$ のとき、以下の等式を証明します。

$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$

2. 解き方の手順

$a + b + c = 0$ より、$a = -b - c$ と変形できます。

これを$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$の左辺に代入します。

$a^2 - 2bc = (-b-c)^2 - 2bc$

$= (b^2 + 2bc + c^2) - 2bc$

$= b^2 + c^2$

左辺が$b^2 + c^2$となり、右辺と一致するので、等式は証明されました。

3. 最終的な答え

$a + b + c = 0$ のとき、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$は成り立つ。