行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ と可換な行列同士は可換であることを示す。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ と可換な行列同士は可換であることを示す。

2. 解き方の手順

$A$ と可換な任意の行列 $B$ を考える。つまり、$AB = BA$ を満たす。

$B$ を $B = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ とおく。

$AB = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2d & 2e & 2f \\ 2g & 2h & 2i \\ a & b & c \end{bmatrix}$

$BA = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & 2a & 2b \\ f & 2d & 2e \\ i & 2g & 2h \end{bmatrix}$

$AB = BA$ より、

$\begin{bmatrix} 2d & 2e & 2f \\ 2g & 2h & 2i \\ a & b & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & 2a & 2b \\ f & 2d & 2e \\ i & 2g & 2h \end{bmatrix}$

これより、以下の関係が得られる。

$2d = c$

$2e = 2a$

$2f = 2b$

$2g = f$

$2h = 2d$

$2i = 2e$

$a = i$

$b = 2g$

$c = 2h$

これらの関係式を整理すると、

$c = 2d$

$e = a$

$f = b$

$g = \frac{b}{2}$

$h = d$

$i = a$

したがって、行列 $B$ は以下の形で表される。

$B = \begin{bmatrix} a & b & 2d \\ d & a & b \\ \frac{b}{2} & d & a \end{bmatrix}$

ただし、$a, b, d$ は任意の実数。

$a' = 2\alpha, b' = 2\beta, d' = 2\delta$ と置換すると、$B$ は

$B = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \delta \\ \delta & \alpha & \beta \\ \beta & \delta & \alpha \end{bmatrix}$ の形となる．

したがって、$B_1$と$B_2$を$A$と可換な行列とすると、$B_1$と$B_2$は上の形となる。これより、

$B_1 = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ c_1 & a_1 & b_1 \\ b_1 & c_1 & a_1 \end{bmatrix}, B_2 = \begin{bmatrix} a_2 & b_2 & c_2 \\ c_2 & a_2 & b_2 \\ b_2 & c_2 & a_2 \end{bmatrix}$

このとき、$B_1 B_2 = B_2 B_1$ となる．

3. 最終的な答え

行列 $A$ と可換な行列同士は可換である。