次の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、さらに第6項を求めよ。 (1) 初項7, 公比2 (2) 初項1, 公比 $-\frac{1}{4}$ (3) 初項-5, 公比 $\frac{2}{3}$

1. 問題の内容

次の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求め、さらに第6項を求めよ。

(1) 初項7, 公比2

(2) 初項1, 公比 $-\frac{1}{4}$

(3) 初項-5, 公比 $\frac{2}{3}$

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数である。

第6項は $n=6$ を代入して求める。

(1) 初項 $a_1 = 7$, 公比 $r = 2$ のとき

一般項は

$a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$

第6項は

$a_6 = 7 \cdot 2^{6-1} = 7 \cdot 2^5 = 7 \cdot 32 = 224$

(2) 初項 $a_1 = 1$, 公比 $r = -\frac{1}{4}$ のとき

一般項は

$a_n = 1 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} = \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$

第6項は

$a_6 = \left(-\frac{1}{4}\right)^{6-1} = \left(-\frac{1}{4}\right)^5 = -\frac{1}{4^5} = -\frac{1}{1024}$

(3) 初項 $a_1 = -5$, 公比 $r = \frac{2}{3}$ のとき

一般項は

$a_n = -5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

第6項は

$a_6 = -5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{6-1} = -5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = -5 \cdot \frac{2^5}{3^5} = -5 \cdot \frac{32}{243} = -\frac{160}{243}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $a_n = 7 \cdot 2^{n-1}$, 第6項: $a_6 = 224$

(2) 一般項: $a_n = \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$, 第6項: $a_6 = -\frac{1}{1024}$

(3) 一般項: $a_n = -5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$, 第6項: $a_6 = -\frac{160}{243}$