$ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} $ を満たす実数 $x$ に対し、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める。

1. 問題の内容

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ を満たす実数 $x$ に対し、無限等比級数 $1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$ の和を求める。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数は、初項が $1$、公比が $2x$ の等比級数である。

等比級数の和が収束するための条件は、公比の絶対値が $1$ より小さいこと、つまり $|2x| < 1$ である。これは $|x| < \frac{1}{2}$ と同値であり、$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ の条件を満たしている。

したがって、無限等比級数の和の公式を用いることができる。無限等比級数の和 $S$ は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、 $|r| < 1$ のとき、

$S = \frac{a}{1-r}$

今回の問題では、$a = 1$、$r = 2x$ であるから、

$S = \frac{1}{1 - 2x}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1 - 2x}$