与えられた連立一次方程式を行列で表現したものを解く問題です。具体的には、次の式を満たす $x_1, x_2, x_3$ を求めます。 $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を行列で表現したものを解く問題です。具体的には、次の式を満たす $x_1, x_2, x_3$ を求めます。

$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

この連立一次方程式を解くために、ガウスの消去法または逆行列を用いることができます。ここでは、方程式を直接解いてみます。

与えられた行列方程式は、次の3つの連立一次方程式に対応します。

$2x_1 - x_2 + 5x_3 = -1$ (1)

$2x_2 + 2x_3 = 6$ (2)

$x_1 + 3x_3 = 1$ (3)

式(2)より、$x_2 + x_3 = 3$、よって、$x_2 = 3 - x_3$ (4)

式(3)より、$x_1 = 1 - 3x_3$ (5)

式(4)と(5)を式(1)に代入します。

$2(1 - 3x_3) - (3 - x_3) + 5x_3 = -1$

$2 - 6x_3 - 3 + x_3 + 5x_3 = -1$

$-1 = -1$

$0x_3 = 0$

この式は $x_3$ が任意の値を取ることを意味します。しかし、これは間違いです。もう一度計算を確かめます。

式(2)から $x_2 = 3 - x_3$

式(3)から $x_1 = 1 - 3x_3$

式(1)に代入すると

$2(1 - 3x_3) - (3 - x_3) + 5x_3 = -1$

$2 - 6x_3 - 3 + x_3 + 5x_3 = -1$

$-1 = -1$

$0x_3=0$ となって、$x_3$ が決まらない。

式(2)から $x_2=3-x_3$．

式(3)から $x_1=1-3x_3$．

これらを式(1)に代入すると，$2(1-3x_3) - (3-x_3) + 5x_3 = -1$．整理すると，$2 - 6x_3 - 3 + x_3 + 5x_3 = -1$ となり，$-1 = -1$．これは恒等式なので，$x_3$ は任意の値をとれます．

しかし問題の形式からすると、$x_3$ が決まるはずです．どこかで計算を間違えているか，あるいは問題に誤りがある可能性があります．

もし問題が正しければ，$x_3$ が定まらないため，解は一意ではありません．

$x_3 = t$ とすると，$x_2 = 3 - t$，$x_1 = 1 - 3t$ です．

3. 最終的な答え

連立一次方程式の解は、$x_1 = 1 - 3t$, $x_2 = 3 - t$, $x_3 = t$ (ただし、$t$ は任意の実数)です。

あるいは、問題文が誤りか、情報が不足しているため解が一意に定まらない可能性があります。