数学的帰納法を用いて、次の2つの等式を証明します。 (1) $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ (2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、次の2つの等式を証明します。

(1) $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$

2. 解き方の手順

(1) $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ の証明

(i) $n = 1$ のとき

左辺は $1$。右辺は $1^2 = 1$。よって、$n = 1$ のとき等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) = k^2$ が成り立つと仮定する。

$n = k + 1$ のとき、

$1 + 3 + 5 + \cdots + (2k - 1) + (2(k + 1) - 1)$

$= k^2 + (2k + 2 - 1)$ （仮定より）

$= k^2 + 2k + 1$

$= (k + 1)^2$

よって、$n = k + 1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について、等式 $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ は成り立つ。

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$ の証明

(i) $n = 1$ のとき

左辺は $1 \cdot 2 = 2$。右辺は $\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1 + 1) \cdot (1 + 2) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 2$。よって、$n = 1$ のとき等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k + 1) = \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)$ が成り立つと仮定する。

$n = k + 1$ のとき、

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2)$

$= \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2)$ （仮定より）

$= \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) + \frac{3}{3}(k + 1)(k + 2)$

$= \frac{1}{3}(k + 1)(k + 2)(k + 3)$

$= \frac{1}{3}(k + 1)((k + 1) + 1)((k + 1) + 2)$

よって、$n = k + 1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について、等式 $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$ は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ はすべての自然数 $n$ について成り立つ。

(2) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{1}{3}n(n + 1)(n + 2)$ はすべての自然数 $n$ について成り立つ。